miércoles, 16 de abril de 2008

Incertidumbre de la regresión lineal

Introducción

Cuando se da a conocer el resultado de la medición de una cierta cantidad física, es indispensable dar una indicación cuantitativa de la calidad del resultado, para que pueda tenerse una idea de su confiabilidad. Sin esto, es imposible hacer comparaciones de dichos resultados, ya sea entre ellos mismos, o con valores de referencia. Por ello debe existir un procedimiento comprensible y aceptado generalmente que lleve a una evaluación y expresión apropiada de la incertidumbre.

A continuación se describirá como calcular o evaluar la incertidumbre de un conjunto de datos cuando se caracterizan en una regresión lineal. Para realizar dicha evaluación se tomará como ejemplo, de una publicación previa; los datos experimentales de mediciones de campo eléctrico de una esfera cargada.

Incertidumbre de la regresión lineal [1]

Frecuentemente es necesario hacer ajustes de modelos lineales a los resultados de mediciones, cuando una de las variables medidas depende de otra de ellas. En estas situaciones, la información que debe obtenerse son los parámetros que caracterizan a la función que debe relacionar ambas variables. Sin duda, el caso más simple es una relación lineal, en la que deben determinarse como parámetros la pendiente y la ordenada al origen de una recta.

El método más simple para el ajuste de una recta a un conjunto de pares de datos experimentales es la regresión lineal, también conocido como el de mínimos cuadrados lineales. En este método, se hace una minimización de la suma cuadrática de las distancias verticales entre los datos experimentales y la recta por ajustar, considerando como variables a la pendiente m y la ordenada al origen b. Dichas variables se pueden calcular utilizando las siguientes ecuaciones:

Pendiente de la Regresión Lineal


Termino Independiente de la Regresión Lineal

En estas ecuaciones, N es el número de pares ordenados de datos experimentales, con (xi, yi) las coordenadas del punto i. Estos parámetros, por haberse obtenido a partir de resultados experimentales, deben tener además una incertidumbre asociada. Ésta se puede evaluar a partir de las desviaciones entre los puntos experimentales y las predicciones de la recta caracterizada por los parámetros de las ecuaciones (1) y (2) Así, se utilizaría un equivalente de la desviación estándar, Sy:

Desviación Estándar


Incertidumbre en la pendiente de la regresión Lineal


Incertidumbre en el término independiente de la regresión Lineal.


EJEMPLO: CAMPO ELÉCTRICO DE UNA ESFERA

En el experimento de campo eléctrico de una esfera [2], tuvo por finalidad demostrar que el campo eléctrico producido por una esfera cargada es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia al centro de dicha esfera.



Comportamiento teórico:

El campo eléctrico de una esfera cargada, esta dada por la siguiente expresión:

Donde:
q: es la carga
r: es el radio de la esfera
E: es el campo eléctrico
R: es el radio de la esfera gaussiana
Ds: es el elemento diferencial de superficie de la esfera

Con los datos obtenidos del experimento se trata de demostrar que el campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera, tal como lo indica el resultado teórico, utilizando para ello la regresión lineal y el nivel de incertidumbre asociado.


Desarrollo Experimental:

[2] Realizó el montaje del dispositivo de acuerdo a como lo muestra la figura. En ella, se tiene una esfera metálica de 12.8 (0.1) cm de diametro, sostenida por una barra de acrílico, por lo cual se mantiene aislada eléctricamente. La esfera está conectada a una fuente de alta tensión de 0 a 5 KV DC. La diferencia de potencial producida por la fuente se mide con un multímetro, conectada a una sonda de alta tensión, que en total da una incertidumbre de 4%; con la sonda, la resolución es de 50 V. Separadamente, en el interior de una jaula de Faraday (conectada a tierra) se coloca una canastilla metálica, también aislada de la jaula por medio de un soporte de acrílico. Dicha canastilla se conecta a un electrómetro, el cual ofrece una incertidumbre de 1% sobre el intervalo total en el cual se está midiendo, por medio de un cable coaxial que atraviesa la jaula de Faraday. La resolución depende del intervalo usado.

Radialmente desde el centro de la esfera se extiende un hilo de seda, horizontal, fijo en el otro extremo a un soporte universal. Junto al hilo se colocan dos cilindros metálicos, de aproximadamente 1 cm de longitud y 1 cm de diámetro, sostenidos por sendas varillas de Teflón. El hilo sirve para situar los cilindros en la dirección radial, y la distancia al borde de la esfera se mide con un flexómetro, cuya resolución es de 0.1 cm. Los cilindros se unen por una de sus caras, poniéndolos a la distancia a la cual se quiere evaluar el campo eléctrico de la esfera. Éste produce una polarización en los cilindros, haciendo que un lado quede cargado positivamente y el otro negativamente al momento de apartarlos; el valor de la carga es proporcional al campo eléctrico. Los cilindros, separadamente, se ponen en contacto con la canastilla, transfiriéndoles parte de la carga y causando una diferencia de potencial que se puede medir con el electrómetro. Esta diferencia de potencial es también proporcional a la carga transferida, resultando que, por transitividad, el potencial es proporcional al campo eléctrico de la esfera.

Esquema de la experiencia

Mediciones:

Las mediciones registradas se muestran en la siguiente tabla

Tabla de datos experimentales

Grafica para una tensión de 4500V

Regresión lineal

Es necesario ajustar la curva, en ejes logarítmicos, para obtener una regresión lineal para estos datos, y así generar una línea de tendencia conforme a la siguiente formula, debido a que la expresión teórica del comportamiento del campo eléctrico tiene la misma forma.

Expresión Potencial para una regresión lineal.


Vc es la diferencia de potencial medida en la canastilla con el electrómetro, b es la ordenada al origen de la recta obtenida en el ajuste log-log, n es la pendiente de la recta y r es la distancia al centro de la esfera. Debe recordarse que la teoría, predice un comportamiento proporcional a rn, donde n = -2.

Grafica log-log para una tensión de 4500V.

Calculo de la regresión lineal y su incertidumbre

Para obtener los parámetros m y b de la regresión lineal, se utilizan las ecuaciones anteriormente descritas y se registran los valores en la siguiente tabla:

Luego se calcula la incertidumbre para todas las mediciones, se obtiene;

Encontrándose el siguiente error;

Resultado del exponente del radio del comportamiento del Campo Eléctrico

Recordando el objeto de estudio, comprobar que el campo eléctrico de una esfera cargada es inversamente proporcional al cuadrado del radio desde el centro de la esfera, se observa que los exponentes encontrados, son aproximados a –2, tal como lo predice la teoría. No obstante, el promedio de los exponentes, que resulta n = -2.4 (0.3), da un intervalo que excede ligeramente (en valor absoluto) el valor convencionalmente real, contando con un error del 20%.

Conclusiones

Del resultado obtenido en el ejemplo de la regresión lineal, se observa experimentalmente que la variación del campo eléctrico varia en función del radio elevado a la potencia -2.4 con una incertidumbre de 0.3

El valor experimental encontrado excede al valor teórico, y refleja un 20% de error.

La regresión lineal permite establecer un comportamiento concreto dentro de una serie de mediciones y valores dispersos.

Los valores de incertidumbre permiten establecer la calidad y la confiabilidad de las mediciones realizadas.

Referencia.

[1] MIRANDA, Javier. EVALUACION DE LA INCERTIDUMBRE EN DATOS EXPERIENTALES. Instituto de Física, UNAM, MEXICO, 2000.

[2] MIRANDA, Javier. CAMPO ELECTRICO DE UNA ESFERA. Instituto de Física, UNAM, MEXICO, 2000.